Newton-Leibnitz's Formula - Practice Questions & MCQ

If the functions u(x) and v(x) are defined and f(t) is a continuous function, then

$\frac{d}{d x}\left[\int_{\mathbf{u}(\mathbf{x})}^{\mathbf{v}(\mathbf{x})} \mathbf{f}(\mathbf{t}) \mathrm{dt}\right]=\mathbf{f}(\mathbf{v}(\mathbf{x})) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\{\mathbf{v}(\mathbf{x})\}-\mathbf{f}(\mathbf{u}(\mathbf{x})) \cdot \frac{d}{d x}\{\mathbf{u}(\mathbf{x})\}$

Proof:

$\begin{array}{ll}\text { Let } & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\{\mathrm{F}(\mathrm{x})\}=\mathrm{f}(\mathrm{x}) \\ \Rightarrow & \int_{\mathrm{u}(\mathrm{x})}^{\mathrm{v}(\mathrm{x})} \mathrm{f}(\mathrm{t}) \mathrm{dt}=\mathrm{F}(\mathrm{v}(\mathrm{x}))-\mathrm{F}(\mathrm{u}(\mathrm{x})) \\ \Rightarrow & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left[\int_{\mathrm{u}(\mathrm{x})}^{\mathrm{v}(\mathrm{x})} \mathrm{f}(\mathrm{t}) \mathrm{dt}\right]=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}(\mathrm{F}(\mathrm{v}(\mathrm{x}))-\mathrm{F}(\mathrm{u}(\mathrm{x}))) \\ \Rightarrow & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left[\int_{\mathrm{u}(\mathrm{x})}^{\mathrm{v}(\mathrm{x})} \mathrm{f}(\mathrm{t}) \mathrm{dt}\right]=\mathrm{F}^{\prime}(\mathrm{v}(\mathrm{x})) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\{\mathrm{v}(\mathrm{x})\}-\mathrm{F}^{\prime}(\mathrm{u}(\mathrm{x})) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\{\mathrm{u}(\mathrm{x})\} \\ \Rightarrow & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left[\int_{\mathrm{u}(\mathrm{x})}^{\mathrm{v}(\mathrm{x})} \mathrm{f}(\mathrm{t}) \mathrm{dt}\right]=\mathrm{f}(\mathrm{v}(\mathrm{x})) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\{\mathrm{v}(\mathrm{x})\}-\mathrm{f}(\mathrm{u}(\mathrm{x})) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\{\mathrm{u}(\mathrm{x})\}\end{array}$